質數不能一直串通：一份 AI 預印本怎麼證明 Siegel 零點不存在｜AI 寫的數學

二〇二六年十月，一份九頁的預印本宣稱解決了數論裡從一九三〇年代卡到現在的「Siegel 零點」問題。這個結果最早出現在 OpenAI 十月初公開的預印本（論文日期十月一日）；之後 Ben Green、William Banks、Bryce Kerr 各自改寫簡化，陶哲軒（Terence Tao）十月十九日在部落格寫了證明速寫。這一集照著陶哲軒的速寫（Green 的版本），把證明從頭走一遍。 這集你會看到： ・問題：一個數 D 在模 p 是不是平方數？質數們照理說一半答「是」、一半答「不是」；如果有夠靠近一的 Siegel 零點，就會逼得一大段質數（一路到 D 的很高次方）幾乎全部答「不是」 ・−163 的故事：Euler 的 n² + n + 41 為什麼連續 40 個都是質數 ・L 函數、zeta 函數、Siegel 零點三者的關係，以及它跟廣義黎曼猜想差多少 ・證明的核心觀察：答「不是」的質數 p，取 p 次方就像照鏡子——(1 + √−3)⁵ 在模 5 底下變成 1 − √−3，整片網格因此在模 p 底下落在曲線 z₁ᵖ = z₂ 上 ・從這個觀察長出整個證明（Ben Green 的版本）：造一個整數 M，它被很多質數整除很多次；它不是零（網格點的第二個座標為什麼要全部不同）；它又不能太大（Hadamard 不等式）。兩邊一夾，答「不是」的質數加權後最多佔一半，再多一點點 ・舉一個具體的小號 M（2,759 位數）：5 整除它 262 次；答「是」的 7，一次都沒有 ・哪裡沒證：陶哲軒的簡化、從不等式到「沒有零點」那一步標準解析數論、以及這些都還是預印本 這不是黎曼猜想，也不是廣義黎曼猜想；這集會講清楚差在哪裡。 章節 00:00 開場：今天要證什麼 00:41 問題：D 在模 p 是不是平方數 02:24 一半一半：D 等於負三的例子 03:54 −163 與 Euler 的質數公式 06:52 L 函數、zeta 與 Siegel 零點 10:28 故事：Siegel 與算不出來的常數 11:40 證明的計畫：一個又大又不能太大的數 13:29 核心觀察：p 次方就是照鏡子 16:10 造出 M：被 p 整除很多次 25:33 M 不是零：第二個座標全部不同 28:25 M 有多大 30:06 兩邊一夾：為什麼是一半 31:37 哪裡沒證 32:32 故事：AI、Green 與多項式方法 一手來源 ・陶哲軒〈A sketch of the proof of non-existence of Siegel zeroes〉（2026-10-19）https://terrytao.wordpress.com/2026/10/19/a-sketch-of-the-proof-of-non-existence-of-siegel-zeroes/ ・OpenAI〈Uniform exclusion of Landau–Siegel zeros〉預印本 https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/Uniform-exclusion-of-Landau-Siegel-zeros-October-1-2026/paper.pdf ・Ben Green〈On Landau–Siegel zeros〉https://hexagonmath.org/2610.00311v2 ・W. Banks〈On the OpenAI proof that Landau-Siegel zeros do not exist〉https://arxiv.org/abs/2610.15483 ・B. Kerr〈A simpler proof that there are no Landau--Siegel zeros〉https://arxiv.org/abs/2610.21099 照片（Wikimedia Commons） ・Ben Green：Renate Schmid / MFO, CC BY-SA 2.0 de ・Terence Tao：Institute for Pure & Applied Mathematics, CC BY 4.0 ・Carl Ludwig Siegel：Konrad Jacobs / MFO, CC BY-SA 2.0 de ・Edmund Landau：Wikimedia Commons（公有領域） ・Leonhard Euler：Wikimedia Commons（公有領域） ・Carl Friedrich Gauss：Wikimedia Commons（公有領域） ・Peter Gustav Lejeune Dirichlet：Wikimedia Commons（公有領域） ・Adrien-Marie Legendre：Wikimedia Commons（公有領域） ・Bernhard Riemann：Wikimedia Commons（公有領域） ・Franz Mertens：Wikimedia Commons（公有領域） ・Alan Baker：JET Photographic, CC BY-SA 4.0 ・Jacques Hadamard：Matankic（retouched from Hadamard2.jpg）, CC BY-SA 4.0 #數學 #數論 #Siegel零點 #陶哲軒 #AI寫的數學