矩陣乘法指數的上界：卡了 36 年的 2.37，掉到 2.25｜AI 寫的數學

二〇二六年十月六日，OpenAI 公開一批由內部模型寫的數學結果，其中兩份論文講矩陣乘法（署期 9 月 24 日、10 月 2 日），把「矩陣乘法指數」ω 的已知上界，從 Google DeepMind 八月剛創下的 2.371177，壓到 2.258，再壓到 9/4＝2.25（複數上，附 Lean 驗證）。ω 量的是：乘兩個 n×n 矩陣需要的運算次數，最少大約是 n 的幾次方。課本做法是 3；1969 年 Strassen 據說本來想證明 8 次乘法跑不掉，結果找到 7 次的做法，降到 2.807；1990 年 Coppersmith 與 Winograd 推到 2.376；之後 36 年只在小數點後第三位以後挪動。這一集講這一路上的人：論文第 71 頁藏著突破的博士生、跟 Le Gall 輪流拿紀錄的 Vassilevska Williams、證明「老路到不了」的那群人，以及這次 Gasarch 說的「Bob Beamon 時刻」。也用科普的方式帶過方法的名字：Strassen 的「雷射法」、OpenAI 2.25 那份改走的「漸近頻譜」，還有為什麼它離實用還很遠。本集不講證明細節。 這集你會看到： ・矩陣乘法到底能做多快：指數 ω 是什麼、為什麼一定在 2 跟 3 之間 ・Strassen 1969：想證明「做不到」，結果做到了 ・雷射法、Stothers 藏在第 71 頁的結果、Vassilevska Williams 跟 Le Gall 輪流拿紀錄、2015 年那道牆 ・這次的結果：上界 2.258、2.25，Gasarch 說這是「Bob Beamon 時刻」 ・用了什麼方法（科普）：漸近頻譜；為什麼它是「銀河演算法」；Aaronson 怎麼說 ・ω 夾在 2 跟 2.25 之間，真正是多少沒人知道 一手來源： ・OpenAI 原稿（ω ≤ 9/4）：https://mathcommunity.github.io/oai-math-revised/papers/Matrix-Multiplication-Nine-Fourths-October-2-2026/ ・OpenAI 原稿（ω ＜ 2.258）：https://github.com/openai/math/tree/main/preprints/Complex-Matrix-Multiplication-Below-2.258-and-Rectangular-Bounds-September-24-2026 ・Lean 範圍說明：https://github.com/openai/math/blob/main/lean/docs/107.md ・Gasarch 部落格：https://blog.computationalcomplexity.org/2026/10/when-is-it-plausible-that-result-is.html ・推廣到所有的體（Sela Navot）：https://github.com/selanavot/matrix-multiplication-all-fields ・建構式證明（Rafael Pass，arXiv:2610.28627）：https://arxiv.org/abs/2610.28627 ・DeepMind 2.371177（arXiv:2608.16884）：https://arxiv.org/abs/2608.16884 ・天花板 2.3078（Ambainis–Filmus–Le Gall，arXiv:1411.5414）：https://arxiv.org/abs/1411.5414 ・Quanta Magazine（2021，Strassen 的故事與 Vassilevska Williams 訪談）：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-inch-closer-to-matrix-multiplication-goal-20210323/ ・Quanta Magazine（2024）：https://www.quantamagazine.org/new-breakthrough-brings-matrix-multiplication-closer-to-ideal-20240307/ ・Scott Aaronson 部落格（2011，Stothers 與 Vassilevska Williams）：https://scottaaronson.blog/?p=839 ・Scott Aaronson 部落格（2026-10，〈The Mathocalypse〉）：https://scottaaronson.blog/?p=10169 章節 00:00 開場 01:13 想證明做不到的人 02:16 雷射法 03:02 第 71 頁 03:40 輪流拿紀錄，然後撞牆 05:02 這次 AI 做了什麼 06:36 方法和用途 08:48 2 和 2.25 之間 照片（Wikimedia Commons） ・Volker Strassen：David Eppstein, CC BY-SA 3.0（https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Strassen_Knuth_Prize_lecture.jpg） ・Virginia Vassilevska Williams：Katrin Schmid, CC BY-SA 2.0 de（https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Virginia_Vassilevska_Williams_Oberwolfach_2012.jpg） ・William Gasarch：SebastosOctavian, CC BY-SA 4.0（https://commons.wikimedia.org/wiki/File:BillGasarch.jpg） ・Bob Beamon：Chell Hill, CC BY-SA 3.0（https://commons.wikimedia.org/wiki/File:1992_Bob_Beamon.JPG） ・Scott Aaronson：Easy n（公有領域） ・OpenAI：OpenAI（商標）（公有領域） ・DeepMind：Google DeepMind（商標）（公有領域） #數學 #矩陣乘法 #演算法 #計算複雜度 #AI寫的數學 配樂（依出場順序）： ・Erik Satie〈Gymnopédie No. 1〉，Robin Alciatore 演奏（Musopen，公有領域；https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Erik_Satie_-_gymnopedies_-_la_1_ere._lent_et_douloureux.ogg） ・Beethoven〈月光奏鳴曲〉第一樂章，Paul Pitman 演奏（Musopen，公有領域；https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ludwig_van_Beethoven_-_sonata_no._14_in_c_sharp_minor_%27moonlight%27,_op._27_no._2_-_i._adagio_sostenuto.ogg） ・Erik Satie〈Gymnopédie No. 2〉，"Gymnopedie No 2" Kevin MacLeod (incompetech.com)，Licensed under Creative Commons: By Attribution 3.0 License http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/（https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gymnopedie_No._2_(ISRC_USUAN1100786).mp3） 名人堂照片： Shmuel Winograd－https://www.computer.org/profiles/shmuel-winograd François Le Gall－https://francoislegall.com/