n 個點兩兩相連最少交叉幾次？藝術家 Hill 的猜想和 1944 年的磚廠問題，OpenAI 說解了｜AI 寫的數學

2026 年 10 月 6 日，OpenAI 公開兩份署期 9 月 23 日的預印本，說完全圖的 Harary–Hill 公式和完全二部圖的 Zarankiewicz 公式（Turán 1944 年的磚廠問題）對所有 n、m 都成立，並附 Lean 形式化。這一集講這兩個公式的來歷：做浮雕的藝術家 Anthony Hill、在磚廠推車的 Turán、留下畫法卻留下漏洞的 Zarankiewicz。兩種最小畫法（兩頁畫法、兩軸平分）一步一步畫給你看；下界怎麼證只提方法的名字。目前狀態：預印本，尚無同儕審查紀錄；Balko 已核過並重寫 K n 的證明，Lean 的形式化通過 comparator，但社群整理頁註明，站上還沒有人查過 Lean 敘述是否等於論文敘述。 一手來源： ・OpenAI 原稿（完全圖）：https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/The-crossing-number-of-complete-graphs-September-23-2026/paper.pdf ・OpenAI 原稿（完全二部圖）：https://github.com/openai/math/blob/main/preprints/The-crossing-number-of-complete-bipartite-graphs-September-23-2026/paper.pdf ・社群整理頁：https://mathcommunity.github.io/oai-math-revised/papers/The-crossing-number-of-complete-bipartite-graphs-September-23-2026/ ・Lean 範圍說明：https://github.com/mathcommunity/oai-math-revised/blob/main/lean/docs/165.md ・Balko 的簡化導讀（arXiv:2610.34444）：https://arxiv.org/abs/2610.34444 ・Balogh 等七人的論文（arXiv:2610.25204）：https://arxiv.org/abs/2610.25204 ・Pasechnik 逐條導讀：https://dimpase.github.io/crossing-number-forest/ ・Turán, A Note of Welcome (1977)：https://doi.org/10.1002/jgt.3190010105 ・Harary & Hill (1963)：https://doi.org/10.1017/S0013091500025645 ・Erdős & Guy, Crossing number problems (1973)：https://doi.org/10.1080/00029890.1973.11993230 ・已知情形 survey（Clancy–Haythorpe–Newcombe）：https://arxiv.org/abs/1901.05155 章節 00:00 開場 01:15 做浮雕的藝術家 01:55 小數字和八分之三 02:46 兩頁畫法 04:41 1944 年的磚廠 05:37 兩軸平分 07:17 證明裡的洞 08:35 這次的結果 09:47 方法和用途 10:16 誰查了什麼 11:16 還沒解決的 照片出處 ・Pál Turán：Bundesarchiv, Bild 183-33149-0001, CC BY-SA 3.0 de（https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Bundesarchiv_Bild_183-33149-0001,_Leipzig,_Universität,_Professor_Turan.jpg） ・Kazimierz Zarankiewicz：1935 年莫斯科，作者不詳（公有領域） ・Anthony Hill：Egrabczewski, CC BY-SA 4.0（https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Anthony_Hill_(2019).jpg） ・Frank Harary：Konrad Jacobs, CC BY-SA 2.0 de（https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frank_Harary_1972.jpg） ・Richard K. Guy：Thane Plambeck from Palo Alto, California, CC BY 2.0（https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Richard_K_Guy_2005.jpg） ・Daniel Kleitman：Konrad Jacobs, CC BY-SA 2.0 de（https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Daniel_Kleitman.jpg） ・József Balogh：Petra Lein, CC BY-SA 2.0 de（https://commons.wikimedia.org/wiki/File:József_Balogh_Oberwolfach_2023.jpg） ・Martin Balko：本人機構頁（https://kam.mff.cuni.cz/~balko/） ・Dmitrii Pasechnik：本人機構頁（https://www.cs.ox.ac.uk/people/dmitrii.pasechnik/） 配樂（依出場順序）： ・Erik Satie〈Gymnopédie No. 1〉，Robin Alciatore 演奏（Musopen，公有領域；https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Erik_Satie_-_gymnopedies_-_la_1_ere._lent_et_douloureux.ogg） ・Beethoven〈月光奏鳴曲〉第一樂章，Paul Pitman 演奏（Musopen，公有領域；https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ludwig_van_Beethoven_-_sonata_no._14_in_c_sharp_minor_%27moonlight%27,_op._27_no._2_-_i._adagio_sostenuto.ogg） #數學 #圖論 #交叉數 #磚廠問題 #AI寫的數學